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LA PERSPECTIVE CAVALIÈRE

Chantal Perfetta, et la collaboration de Géraldine Holtzhauer

En géométrie dans l’espace l’objectif des programmes de collège et de lycée est d’apprendre à voir pour apprendre à calculer et à raisonner. Cela implique un large usage de maquettes, de patrons et de représentations. La représentation d’un objet de l’espace est toujours ambiguë puisque d’une part, une figure plane ne fournit en général pas l’intégralité des informations nécessaires à la description de l’objet lui-même, et que d’autre part, elle peut même induire en erreur ( un angle peut être droit sur une représentation alors qu’il ne l’est pas sur l’objet lui-même ).

Il existe plusieurs modes de représentation parfaitement codifiés et décrits par G. Audibert dans " la perspective cavalière " dont les principaux sont les vues du dessin industriel, les projections axonométriques, les perspectives cavalières, l’épure en géométrie descriptive, les perspectives coniques et les projections cotées.

Pour représenter les objets de l’espace au collège et au lycée on n’utilise pas celle des représentations qui certainement donne le mieux l’illusion du vrai, comme le fait une photographie, la perspective conique. On utilise la plus simple, la perspective cavalière qui représente un compromis entre l’illusion de la réalité, la facilité d’exécution et la conservation d’un certain nombre de propriétés mathématiques. Elle obéit à un certain nombre de règles que les professeurs doivent avoir présentes à l’esprit même si elles sont rarement explicitées. A cet égard les programmes sont extrêmement discrets : il apparaît que, si on doit s’assurer que les élèves ont une bonne pratique des règles permettant de faire de telles représentations tout exposé sur la perspective cavalière semble exclu.

Soit P un plan et D une droite qui n’est ni parallèle ni perpendiculaire à ce plan. On appelle perspective cavalière la projection sur P parallèlement à D . La représentation cavalière d’un objet est donc son image par cette projection. Des propriétés de cette projection on déduit les relations qui existent entre les éléments caractéristiques de l’objet lui-même et ceux de sa représentation. Ainsi :

• la perspective cavalière conserve l’alignement, le parallélisme, le rapport des longueurs de deux segments parallèles ( en particulier elle conserve les milieux )

• toute figure contenue dans un plan parallèle à P est représentée en vraie grandeur (longueurs des segments, mesures des angles )

• les cercles sont suivant les cas représentés par des segments, des cercles ou des ellipses.

Ces propriétés peuvent être mises en évidence en utilisant le lien qui existe entre représentation cavalière d’un objet et ombre sur un plan d’un objet éclairé par le soleil.

Il est délicat de schématiser cette définition de la perspective cavalière puisqu’on est alors amené, comme dans le dessin ci-dessous, à représenter l’objet dont on veut donner une représentation cavalière, en utilisant ….une perspective cavalière. Ainsi abcdefgh apparaît comme représentation cavalière du cube ABCDEFGH, qui est lui-même représenté ici à l’aide d’une perspective cavalière.

• Toute figure contenue dans un plan frontal, c’est-à-dire parallèle au plan de projection est représentée en vraie grandeur ( compte tenu de l’échelle ).

• Les droites perpendiculaires au plan de projection sont représentées par des droites fuyantes qui font un angle constant avec l’horizontale du plan de projection, appelé angle de fuite de la projection.

• Tout segment [MN] porté par une perpendiculaire au plan de projection est représenté par un segment [mn] porté par une fuyante et dont la longueur mn vérifie mn = k MN, k étant une constante appelée coefficient de " réduction  " de la perspective cavalière.

L’angle de fuite et le coefficient de réduction de la perspective cavalière dépendent de la direction de D , direction de projection, par rapport à P, plan de projection. Nous verrons plus loin de quelle manière.

Remarques :

• Les difficultés commencent avec la représentation d’une droite qui n’est, ni parallèle, ni perpendiculaire au plan de projection. On essaie alors de définir cette droite par deux points que l’on peut repérer sur des parallèles ou des perpendiculaires au plan de projection. Si cette droite est parallèle à une droite déjà représentée il suffira d’un point.

• Pour augmenter l’illusion de la réalité et améliorer la lisibilité de la représentation cavalière on représente les parties cachées en pointillés. La ponctuation joue un rôle essentiel dans l’interprétation d’un dessin perspectif, comme le montrent les deux figures ci-dessous. Les deux tétraèdres sont représentés de la même manière aux pointillés près. Ils sont situés différemment dans l’espace.

La perspective cavalière est totalement déterminée par la représentation perspective d’un vecteur de norme 1 orthogonal au plan de projection. On considère le

repère orthonormal Oxyz de base () ci-dessous.

On pose , et . On suppose que le plan Oxy est le plan de projection. On appelle A’ la projection du point A sur Oxy. La droite (AA’) donne donc la direction de la projection. La droite (OA) se transforme en (OA’) par cette projection. Par conséquent l’angle de fuite j est l’angle (). Par ailleurs le triangle OAA’ est rectangle en O. On a tan () =. Donc OA’= tan() x OA. Si on nomme l le coefficient de réduction on a l = tan (). Comme ici OA = 1 on a l = OA’.

En conclusion : l est la tangente de l’angle que forme D avec une perpendiculaire au plan de projection.

j est l’angle que fait avec l’horizontale du plan de projection, le plan défini par D et une perpendiculaire au plan de projection.

Les quatre figures suivantes sont des représentations cavalières du même cube.

L’Association Française de Normalisation (AFNOR) recommande comme seule perspective cavalière la PC(0,5 ; 45°). L’inconvénient de cette perspective est qu’elle donne aux fuyantes la même direction que celle d’une diagonale de la face avant du cube lorsque cette dernière est parallèle au plan de projection.

Il est commode d’utiliser la perspective PC(0,5 ; 90°) lorsqu’on veut représenter des corps ronds. (voir plus loin )

Deux représentations d’un même cube :

• Dans les deux représentations l’angle de fuite est 45° et le coefficient de réduction est 0,5.

• Dans un cas deux des faces du cube sont parallèles au plan de projection. Dans l’autre cas, le plan formé par deux diagonales parallèles de deux bases parallèles, est parallèle au plan de projection.

Les élèves reconnaissent plus facilement un cube dans la première des deux représentations. C’est pourquoi, si l’objectif est de faire la représentation du cube qui donne le mieux l’illusion de la réalité, cette représentation (la première) sera privilégiée.

• Représentations d’un cercle, d’un cylindre, d’un cône :

1^er cas : si la direction de la projection est parallèle au plan du cercle, le cercle est alors représenté par un segment. Dans ce cas un cylindre est représenté par un parallélogramme et un cône par un triangle.

2^ième cas : si le plan de projection est parallèle au plan du cercle, le cercle est alors représenté en vraie grandeur. Dans ce cas les deux bases d’un cylindre sont représentées par des cercles en vraie grandeur. Il en est de même pour la base d’un cône.

3^ième cas : dans les autres cas la représentation cavalière d’un cercle est une ellipse.

1^er exemple de représentation : PC (,90°)

2^ième exemple de représentation : PC (, ) ; (90°)

La difficulté du tracé d’une représentation d’un corps rond réside dans le dessin des ellipses. Le pochoir trace-ellipse est un instrument permettant de reproduire des ellipses.

• Représentations d’une sphère

Toute représentation cavalière d’une sphère est une ellipse puisque c’est la section d’un cylindre de révolution, circonscrit à la sphère et d’axe parallèle à la direction de projection, avec le plan de projection (qui est oblique par rapport à cet axe).

La représentation ci-dessous ( G. Audibert : La perspective cavalière ) est une représentation d’une sphère dans une PC (0,5 ; 60). P et P’ sont les deux pôles, est le contour apparent, le cercle représente le méridien situé dans un plan parallèle au plan de projection, e représente l’équateur et les autres ellipses sont les représentations cavalières de quatre parallèles.

Or lorsqu’on regarde une sphère, on la perçoit comme ayant un contour circulaire. Encore une fois la perspective cavalière donne une représentation loin de la réalité. C’est pour cela que, très souvent, on " triche " et on représente une sphère avec un contour apparent circulaire.

Complément : éléments de construction d’une représentation d’un cube sur les faces desquels des cercles sont inscrits. Cette construction repose sur l’utilisation d’affinités permettant de transformer un cercle en une ellipse.

Les figures ci-dessous sont extraites de " La perspective cavalière " ( G.Audibert)

Biliographie :

Audibert G., La perspective cavalière, APMEP Paris 1990

Rousselet M., " Enseigner la perspective cavalière au collège ",Bulletin APMEP n° 406

Bonafé F., "  La représentation en perspective cavalière ", Bulletin APMEP n° 363

Legrand P. (coordonné par), Profession Enseignant. Les maths en collège et en lycée,Hachette Education

Repères IREM N° 33, "  Enseigner la géométrie dans l’espace "

Repères IREM N° 4, "  La représentation des corps ronds "